Оценка опционов: пример из покера
Пока еще свежи в памяти последние идеи об опционах, напишу небольшое продолжение с примером из покерного мира. Опционы пока еще не распространены в покерном мире, но дело продажи долей идет вперед, и кто знает - почему бы в этой области инвестиций не появиться инструментам, которые давно присутствуют в другой области?
Итак, пусть у нас есть некий покерный игрок. Известно, что через полгода он собирается ехать на всоп МЕ с бай-ином $10K, и мы подумываем купить у него 10%, то есть долю стоимостью $1K (без учета коэффициента). На данный момент он предварительно продает доли на него с коэффициентом 1.2. Чтобы как-то рассчитывать нашу прибыль, нам нужна какая-то оценка РОИ игрока. Поскольку это пример, я для простоты буду считать, что игрок делит прибыль с инвестором "пополам" - то есть он продает доли по 1.2, если имеет РОИ 40%, по 1.3 с РОИ 60% и т.п. Если вы вдруг соберетесь считать такие вещи для реальных игроков, вы легко можете подставить свои цифры в эти вычисления.
Но вернемся к нашему игроку. За полгода многое может измениться - психологическое и эмоциональное состояние, стиль игры и еще куча других причин. Предположим, что вы оцениваете динамику следующим образом: с равной вероятностью игрок с моменту начала МЕ может иметь на нем РОИ 60% или РОИ 10%. Иными словами, непосредственно перед МЕ коэффициент измениться или на 1.3, или на 1.05.
Важное замечание. Внимательный читатель тут скажет: почему ты опять пишешь, что изменения РОИ в обе стороны равновероятны, если ты в прошлый раз говорил, что вероятности не играют в нашей оценке ровно никакой роли? Штука тут вот в чем. Да, конкретные значения вероятностей не важны. Но важно, чтобы они не выходили за определенный предел. Помните, я говорил, что эти вероятности не имеют отношения к нашим вычислениям - они просто характеризуют существующим рынок? Так вот получается, что при
некоторых вероятностях просто не существует такого рынка, который они характеризуют. Например, пусть вероятность наступления РОИ 60% вообще равна нулю. Тогда получается, что рынок сегодня покупает предложение с РОИ 40% и кэфом 1.2, когда точно известно, что завтра РОИ игрока изменится на 10% и будет продаваться по 1.05. Кому надо платить 1.2 вместо 1.05? Никто не будет этого делать, и такого рынка не будет существовать. Но выше определенного предела конкретные значения вероятностей не важны: будет наступать РОИ 60% с вероятностью 50%, 60% или 70% - стоимость опциона не измениться.
Важное замечание-2. В рамках этого текста я немножко схалявлю и буду считать ожидаемую прибыль РОИ как реальную прибыль. То есть буду считать, что покупая доли стоимостью $100 и РОИ 60% вы автоматически получаете $160. Другими словами, я буду считать агентов риск-нейтральными (это те, кому не важно, получить $100 гарантированно, или кинуть монетку между $200 и $0). На самом деле, это не очень сильная предпосылка, и это очень сильно связано с банкролл менеджментом, на мой взгляд. Я об этом напишу большой текст попозже.
Ну вот, теперь о том, какой опцион мы хотим купить. Мы хотим купить
право на покупку у него долей с кэфом 1.25 непосредственно перед МЕ. Очевидно, это право мы используем только при наступлении РОИ 60%. Получаем.
Покупка доли сегодня по 1.2:
стоимость $1200
доходность $1600 в 1ом состоянии мира ($1000*1,6)
доходность $1100 во 2ом состоянии мира ($1000*1,1)
Покупка доли через опцион:
доходность $350 в 1ом состоянии мира ($1000*1,6 - $1000*1,25)
доходность $0 в 1ом состоянии мира (не покупаем по 1.25, т.к. можно купить напрямую по 1.05)
Деньги:
стоимость постоянна (процентная ставка нулевая)
Применяем формулу из прошлого поста об опционах.
Пусть:
Е - стоимость опциона
Eg - его доходность в "хорошем" состоянии
Eb - его доходность в "плохом" состоянии
r - ставка процента
u - отношение стоимостей используемого инструмента (кроме денег), "хорошая"/"сегодняшнюю"
d - отношение стоимостей используемого инструмента (кроме денег), "плохая"/"сегодняшнюю"
Тогда стоимость опциона равна:
E = (p*Eg + (1-p)*Eb)/(1 + r), где p = (1 + r - d)/(u - d)
В нашем случае:
u = 1600/1200 = 1.33
d = 1300/1200 = 0.92
p = (1 + r - d)/(u - d) = 0.20
E = (p*Eg + (1-p)*Eb)/(1 + r) = p*Eg = $75
Итак, стоимость опциона на покупку долей у такого игрока равна $75. Еще раз обратите внимание, насколько вы бы переплатили, если бы считали "по-простому": с вероятностью 0.5 мы получим $350, с вероятностью 0.5 - $0 => цена опциона равна $175. Вы бы заплатили более чем в два раза больше реальной стоимости этого опциона.
Кто знает, может скоро мы увидим бурное развитие опционов на покупку долей у начинающих игроков?
Знаете ли Вы, что? 
В экономике существует понятие - номинальная ставка процента, i. Это приблизительно та ставка, которую вы видите, когда кладете или берете деньги из банка. Она неразрывно связана с реальной ставкой процента, r, и инфляцией, pi. Поэтому, изменяя номинальную ставку, можно немного влиять на инфляцию и другие экономические показатели.
Проблема в том, что номинальную ставку процента нельзя опустить ниже 0%. Представьте, банк предлагает вам уникальный депозит: вы кладете на него $1000, а через год получаете $950, то есть на 5% меньше
лучше уж хранить деньги под матрасом, правда?
Но и из этой ситуации нашли выход. Был случай, когда в Японии (я уж не помню по каким причинам) оооочень нужно было опустить номинальную ставку ниже 0%. Для этого там ввели "срок годности" денег. То есть, к примеру, через год существования банкнота просто переставала сколько-либо стоить и превращалась в обычную бумажку. В результате хранить деньги дома было менее выгодно, чем класть в банки, пусть даже и под отрицательную ставку процента. Имо, красиво вышли из ситуации