Вернемся к нашим шкатулкам

В предыдущей ветке конструктива не получилось, хотя задача очень интересная и никто так и не смог ее толково объяснить, я в том числе. Поэтому решил открыть новую тему с чистого листа чтобы решение, если оно будет найдено, не затерялось в той ветке, которая ушла в сторону.

Итак, с чего все началось. В одной шкатулке в 2 раза больше денег чем в другой. Мы открыли одну из них, там 100$ открывать ли вторую? Большинство считает что если наши шансы открыть изначально большую/меньшую сумму 50/50 то мы имеем МО=50/2+200/2=125$ против 100$ в первой. Где в этих рассуждениях ОШИБКА? То что ОШИБКА существует, интуитивно понятно почти ВСЕМ, но указать на нее конкретно, ткнуть пальцем так сказать, так никто и не смог.

Давайте чуть изменим задачу. Пусть в шкатулках разные суммы денег, не важно какие. Вероятность сразу открыть большую сумму 50%. Вероятность после открытия первой шкатулки найти во второй большую сумму так же равна 50% (в первой оказалась меньшая) В чем принципиальное отличие этих задач? Мой вариант разъяснения:

Формула МО=50/2+200/2=125$ будет работать только в том случае, если вероятность того что именно 100$ окажется большей суммой равна 50%. Однако МЫ НЕ ЗНАЕМ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО ЧТО ИМЕННО 100$ - БОЛЬШАЯ СУММА. ЭТО ЗАВИСИТ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ОТ ВОЛИ ТОГО, КТО ФОРМИРОВАЛ ШКАТУЛКИ. Итак, проблема на мой взгляд в том, что мы сопоставляем (приравнимваем) РАЗНЫЕ ПО СУТИ ВЕРОЯТНОСТИ, а именно:

1. Вероятность того что ОТКРЫТАЯ СУММА больше другой.
2. Вероятность того что ИМЕЕННО 100$ больше другой суммы.

Задача построена так, что наш мозг подсознательно выстраивает неверную логическую цепочку: Вероятность открыть большую сумму 50% -> Открытая сумма = 100$ -> Вероятнсть того что 100$ большая сумма 50%. В этом и кроется на мой взгляд причина ОШИБКИ в рассуждениях.

А какова тогда вероятность того что 100 - большая сумма? Варианта всего 2 - она или большая или меньшая

__________________
Трудно быть лучшим, будучи скромным...

Данную задачу невозможно решить, но к этому можно стремиться.

"Ахиллеса и черепаху" решают полторы тысячи лет, но до сих пор все "решения" - это всего лишь доказательство обратного другими методами. Ошибку в рассуждениях Зенона никто найти не может просто потому, что её там нет.

Если принять все неявные предположения (существование равномерного распределения на бесконечном интервале), то рассуждение о том, что МО от смены шкатулки увеличивается на 25$, верно.

Можно пойти ещё дальше. Не открывая шкутулку, предположим, что там x$. Не открывая, мысленно сменим шкатулку. С вероятностью 0.5 получим 2х, с вероятностью 0.5 получим 0.5х, МО = 1.25х. Тепербь забываем предыдущие рассуждения, помним лишь, что открыв вторую шкатулку, мы с вероятностью 0.5 получим 0.5х, и с 0.5 - 2х. Мысленно сменим шкатулку на первую, не открывая. С вероятностью 0.25 там 0.25х, 0.5 - х, 0.25 - 4х, МО = 1.5625х = (1.25^2)x. После N мысленных смен получим МО = (1.25^N)х$. Мечта просто, силой мысли увеличиваем МО до сколь угодно большой величины

Какие проблемы? Да никаких. МО открытия шкатулки не зависит от предыдущих рассуждений, но при этом может увеличено во сколько угодно раз. Это возможно в двух случаях: если МО = 0 или МО = бесконечности. С этим "равномерным распределением на бесконечном интервале" оно и равно бесконечности. Всё логично.

Подходя же к задаче с обратной стороны, со стороны "здравого смысла" (аксиомы: МО не меняется от мысленной смены шкатулки, МО - конечная величина), можно вычислить, что вероятность того, что во второй шкатулке денег меньше, равна 2/3, а что больше 1/3.

По-моему, основная ошибка - считать, что описанные условия могут существовать в реальности. Собственно, противоречия со здравым смыслом и доказывают, что принятые аксиомы (равномерное распределение на бесконечном интервале) не соответствуют действительности.

Если же считать, что это реальная ситуация, нужно оценить распределение вероятностей, исходя из бюджета проекта, здесь уже никакой романтики и противоречий не будет.

__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников.

Попробуй D/EV^2.
Я буду брать всегда 1ю шкатулку. D=0.

Так прав я или нет утверждая следующее:

Тот факт, что мы нашли в шкатулке 100$, не дает нам права считать что именно 100$ является большей суммой из двух возможных с вероятностью 50% и все дальнейшие рассуждения основаные на этом факте ошибочны?

Прав.

Но такое право нам даёт сформулированное NuKer'ом утверждение о том, что кол-во денег - равновероятно выбранное действительное (или рациональное) число.

Другое дело, что такого распределения в традиционной теории вероятностей не существует.

__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников.

не понял насчет 50/50. Как не равны?
Две шкатулки, две суммы. В чем прбл?

Реально не втыкаю:
открыли 1ю шкатулку EV=100$ D=0
открыть 2ю шкатулку EV=125$ D=5625

Че за вероятность НЕ равная 50%, того что во второй шкатулке меньшая/большая сумма?

Вложения

Стратегия игры в начале турнира в зависимости от глубины стека.doc (44.0 Кб, 44 просмотров)

Ну типа ты ж не можешь знать, что, скажем, фирма, которая предлагает тебе шкатулки с 50% вероятности кладет в них 50 и 100 и с 50% 100 и 200. А вдруг она никогда не кладет туда 100 и 200. Ты ж всего раз тянешь.

Кстати, в качестве продолжения добавлю. В случае, если тянешь только один раз, то теория принятия решений предлагает 2 критерия для выбора: критерий гарантированного выигрыша (минимаксный) и критерий азартного игрока (максминный). В этой задаче, конечно, все-равно, какой использовать, если нет доп. инфы (типа твоя зарплата, помню кто-то предлагал учитывать и все такое). А вообще (возможно) интерес эта задача представляла бы, если б повторялась много раз и при том, что тот, кто кладет деньги в шкатулку мог бы выбирать каждый раз одну из двух альтернатив - соответственно класть в шкатулку 50/100 или 100/200. Тогда бы это уже была матричная игра, можно было бы найти оптимальные стратегии, равновесие и все такое.

__________________
when i bet i either have nuts or balls

Условие задачи:
Не имеет значение какую сумму открываем. Дисперсия равна нулю. МО 100%.
Две шкатулки, две суммы, какая "воля" формирующего шкатулки?

Это тоже самое, когда ты учавствуешь в розыгрыше авто и человек предлагает тебе купить твои лотерейные билеты (Миша поднимал тему). Минимизация рисков, то о чем я говорю.

Если мы не уверены, что с вер.1/2 в одной шкатулке денег больше/меньше (кидалово) то какой смысл играть вообще?

я вообще-то тупой.
но вот еще задача. ставим на рулетке. выигрываем.
надо ли ставить туда же?

__________________
pokerwork

Не имеет значения. С ЛЮБОЙ ставки -1/37. Разница опять же в дисперсии.

2 Korovin:
Не могу понять, что непонятного в решении задачи. Есть две шкатулки, где ГАРАНТИРОВАННО во второй из них сумма больше/меньше чем в первой.
Все 50/50. Что не так то?
Я, возможно, туплю и опять тебя, Коровин, не понимаю, но очень хочется объяснений, тк я считаю, что мое решение - это зачот.

читай первый пост в этой ветке. Подробнее выразить свои мысли я уже не могу.

Представь ,что мы организаторы сего действа, формеруем 100 пар шкатулок :
20 пар вида 100-200
80 пар вида 50-100

Ну так объяснение не катит. С таким же успехом могли и наоборот пары выбрать

Вообще в теории игр в случае, если неизвыстны вероятности ситуации, в которых мы находимся, также есть способы принятия решения. Один из них - принять что все ситуации равновероятны

Тут как бы ситуевина какая - неизвестно нам, а решение то принимать то надо

И тут мы возвращаемся к вопросу у том, как описать все ситуации до открытия первой шкатулки.

Принять решение не проблема, проблема принять правильное решение

__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников.

И все же. рассмотрим 2 принципиально разные задачи:

1. Нам предлагают заплатить 100$ за содержимое шкатулки, в которой либо 50 либо 200, шансы неизвестны.
2. Нам предлагают заплатить 100$ за содержимое шкатулки, в которой либо 50 либо 200 с шансами 50/50

В какую из них трансформируется исходная задача после открытия 1-й шкатулки? Я считаю что к первой и нет смысла платить 100$ на неизвестных шансах. cooper(jr) утверждает что ко второй и он обязан идти до конца, так как МО решения в этом случае +. Кто из нас прав?

Мне это так видится. Нет никакой ошибки, всегда выгодно поменять шкатулку на новую. Представим фирму "анти-МММ". Приходишь в нее с любой суммой денег и своей монеткой (своей для честности), подкидываешь ее, если орел тебе дают сумму равную твоей, если решка забирают половину. Я бы ходил в нее постоянно. Т.е. правила такие, что менять нужно максимальное число раз, если вероятность удвоится и уполовиниться 50-на-50. МО выбрать первую шкатулку и вторую (оба положительные) разные, потому что за первую ничего не надо платить.

Я тебя правильно понял, что всегда выгодно менять шкатулку?
Давай тогда поиграем в такую игру. Я буду раскладывать по шкатулкам деньги 2:1. Не менее $10 в каждую. Ты будешь наугад открывать шкатулки, оплачивать мне открытую сумму и менять свой выбор. Сумму из второй шкатулки оплачу тебе я. Маленький нюанс. За право поменять шкатулки ты мне будешь каждый раз платить 1 (всего один!) доллар. Идёт?

Ты проиграешь.