Немного теории вероятности

... никогда не помешает.

Я заметил что не все хорошо представляют себе как работать с циферками. А вопросы на тему - к каким отрицательным стрикам морально готовится и в каком диапазоне лежит реальное матожидание мучают многих.

Попробую одним постом ответить на оба вопроса максимально доступно.

Итак вы наиграли 20 тысяч партий на левеле 1/2 10 макс. Посмотрели в покертрэкер и обнаружили, что выигрываете в среднем 2 больших ставки на 100 партий при дисперсии 12 больших ставок на 100 партий.

Вы хотите понять в каких пределах лежит ваше реальное матожидание и каких отрицательных стриков вам имеет смысл ожидать в будущем и с какой периодичностью. Вторая часть важна для расчета необходимого банкролла для игры и для моральной устойчивости

Далее обозначения:

N - количество сыгранных партий

Mo - кол-во больших ставок выигранных за 1-у партию. Если ваш PT показывает 2BB/100 значит Mo=0.02

Dev - стандартное отклонение за одну партию. Если пати показывает 12BB/100, значит это отклонение за одну партию равняется 1.2BB. Не вдаваясь в детали просто делим циферку на 10.

б - кол-во сигм. Оно равно 2-м для достоверности в 95% и 3-м для достоверности 99.7%. Вообще насколько я понимаю это коэффициент Стьюдента для нормального распределения. Но в народе говорят - вылетел за 3 сигмы - видимо так проще.

Сначала посчитаем в каких пределах лежит наше матожидание.

Все считается из следующей формулы:

результат за N партий= Mo*N +- б*Div*sqrt(N)

sqrt - квадратный корень

Таким образом зная оценки Мо и Div за N испытаний мы можем узнать верхнюю и нижнюю границу нашего реального Mo с высокой достоверностью.

соответственно если результат за N партий поделить на N получим границы для Мо

Будем все считать для 95% достоверности, т.е. б=2

Подставляем циферки:

1. Верхняя граница:

Моверх=(0.02*20000+2*1.2*sqrt(20000))/20000=0.037

2. Нижняя граница

Монижн=(0.02*20000-2*1.2*sqrt(20000)/20000=0.003

Таким образом мы можем сказать что с 95% вероятностью наше реальное матожидание лежит в диапазоне 0.3БС/100 и 3.7БС/100. Т.е фактически мы являемся игроком положительным. Легко заметить, что если мы наиграли чуть меньше тыс партий с Мо=2БС/100 мы ещё далеко не можем сказать - положительный ли мы игрок или отрицательный.

Далее переходим ко второй части задачи, а именно к расчету банкролла для заданного риска. Опять же берем 2сигмы, т.е. считаем 5% риск. Внимание 5% риск означает что каждый 20-й человек раззорится, а потому если вы играете чтобы жить вам надо взять 3сигмы как минимум, либо как второй вариант скакать по лимитам вниз при достижении определенной нижней границы, чтобы не раззориться никогда.

Т.е. грубо если вы снимаете все деньги выше расчетного банкролла и тратите их на свои какие-то нужды, то через в течение следующих 20 расчетных диапазонов вы скорей всего раззоритесь.

Для того, чтобы посчитать максимальный отрицательный стрик нам надо найти экстремум функции указанной выше. Т.е. нам надо найти такое N при котором функция

результат за N партий= Mo*N - б*Div*sqrt(N)

будет имень наиболее отрицательное значение. Таким образом мы узнаем с какой периодичностью ожидать крупные отрицательные стрики и какой глубины они будут.

Для нахождения экстремума возьмем производную от указанной функции и приравняв её нулю найдем искомое N

0=Mo-б*Div*1/2/sqrt(N)

Далее путем несложных преобразований:

Mo*sqrt(N)=б*Div*1/2

sqrt(N)=б*Div*1/2/Mo

N=(б*Div*1/2/Mo)^2

^2 означает что все надо возвести в квадрат

Подставляем цифры

N=(2*1.2*0.5/0.02)^2=3600 партий

Подставляем это найденое N в первоначальную формулу:

результат за N партий= Mo*N - б*Div*sqrt(N)

результат=0.02*3600-2*1.2*sqrt(3600)=-72

Таким образом мы видим, что через 3600 следующих сыгранных партий мы с вероятностью 95% не можем залететь более 72 больших ставок в минус.

Отсюда можно посчитать - какова вероятность того, что мы не испытаем стрика более 72 больших ставок вниз скажем за 360 000 партий. Это вероятность равна 0.6% (0.95^100) , т.е. лишь один счастливчик из 168 с похожими на наши параметрами может похвастаться тем, что ему достаточно банкролла в 70 ставок сыграв такое большое кол-во партий. Все остальные на такой дистанции при такой же игре банкролл в размере 72 ставки зальют.

Подставив в вышеуказанные вычисления сигму равную 3-м (т.е. 0.997%) получим что с вероятностью 0.997 за следующие 8100 партий мы не вылетим за 162 больших ставки в минус.

Можно сразу посчитать кому хватит банкролла в 162 ставки за те же 360 000 партий для сравнения. Этот % персонажей равен 0.997^44.44=87.51%. (44.44 получается делением интервала в 360 000 партий на отрезки по 8100 партий) Уже лучше, да? Т.е. 87 человек из ста не испытают колебаний банкролла выше, чем 160 ставок вниз за 360 000 партий. Увеличив количество партий до 810 000 мы обнаружим, что таких людей 74%. Т.е. один из 4-х таки сольет больше.

Теперь вспомним, что матожидание наше плавает и точное значение его мы не знаем и мало того оно ещё меняется и мы играем хуже когда много залили кряду и найдем наиболее безрисковые значения банкролла - теперь уже несложно.

Можно заметить, что меняя значения дисперсии и Мо требования к банкроллу будут скакать не по детски. Например играя с дисперсией 16BB/100 требования к банкроллу будут уже в размере 300 ставок. Но если при этом матожидание уже 3 ставки/100, то все равно около 200 ставок должно хватить. (Это такое лёгкое сравнение коротких игр с длинными).

Слабоположительный игрок, который например зарабатывает в среднем лишь 0.5БС/100 при той же дисперсии может легко налететь на стрик в 700 ставок в минус.

По моей статистике (на сегодняшний день 155 тысяч партий) значение для 3-х сигм получается 262 ставки (я держу банкролл 500 т.к. живу этим, я недавно сократил его с 1000), а значения матожидания в пределах 2.3 и 4.4 ставок/100.

__________________
www.peter-rus.com

Вау, Peter, это просто суперпост! Надеюсь мы увидим его на 2+2?

Есть пара вопросов:

По этой формуле высчитывается периодичность стриков? А почему меняя сигму с 2 на 3 результат меняется с 6тыс на 15 тыс (у меня)?
Как вообще сигма влияет на эту цифирь?

Что такое вообще сигма в этих вычислениях?

И еще - можно ли мешать все формы покера в одно - это улучшает мат. достоверность или наоборот? Экспериментов же больше...

Сигма показывает, с какой вероятностью ты хочешь иметь данные результаты. если тебя устраивает не проиграть в вероятностью 95% - берешь равную 2, если ты хочешь практически полностью гарантировать себя от провала - берешь 3. При этом точность увеличивается до 99,7%, при 4 это уже 99,997% (на самом деле Питер не совсем верно это обозвал, сам же говорил, что речь идет о 3-х сигмах, т.е. правильнее было бы писать 3б, а не б*Dev - некая мешанина в терминах/обозначениях).

А вот разные виды вместе мешать нельзя - это же разные эксперименты, у тебя там разные МО и дисперсия. Хотя, если на разных лимитах результаты по МО и дисперсии примерно одинаковые - можешь сложить.

А вообще, конечно, лучше почитать учебник, да еще можно побаловаться с формулами и графиками в экселе.

Да, согласен с некоторой мешаниной в терминах. Я постарался максимально доступно написать и возможно опустил некоторые детали. Не скрою - происхождение этих сигм я уже прочно позабыл, видимо они вылезают из закона нормального распределения. И потому возможно некоторая путаница у меня в голове имеется также. Правильно было бы написать в формуле:

результат за N партий= Mo*N +- t*б*sqrt(N)

Где t - коэффициент достоверности Стьюдента для нормального распределения, а сигма - стандартное отклонение.

при t=2 достоверность 0.95
при t=3 достоверность 0.997
при t=4 (как правильно заметил Yura) достоверность 0.99997



Повторюсь, к сожалению это вам не джек против казино. И эксперименты получаются в некотором роде зависимыми. Т.к. при отрицательных стриках вы начинаете "бояться" и недовыигрывать. Или например показ очередного покерного турнира по ТВ привлекает косяки рыбы, а какое-нибудь ещё событие увлекает. Так что Мо плавает не только от лимита к лимиту но и в течении времени. Конечно, - за горизонтом всё это где-то усреднится. Также смена стиля постфлопа, стратегии префлопа и т.п. Смешивать или не смешивать лимиты - дело каждого.

По этой формуле можно прикинуть - какова вероятность встретить такой стрик в течении следующих N партий. Вероятность того, что в следующие 3600 партий ты зальешь 72 или более ставок равна 5%. Меняя коэффициэнты стьюдента, например беря их из расчетной таблицы, ты будешь получать более достоверные результаты с различными вероятностями.

__________________
www.peter-rus.com

Вопрос меня мучает:

Это N случайных партий, или все-таки заранее предполагается, что в течение этих N партий наши значения MO и Dev останутся на прежнем уровне?

Предполагается что в этом промежутке мы будем играть также как играли раньше (на том же уровне), что и раньше. С той же самой силой. Если ты решишь поэкспериментировать в этом промежутке, то совсем не факт, что ты не вылетишь за пределы расчетных.

__________________
www.peter-rus.com

Sorry, но все-таки, подразумевает ли тот факт, что мы играем так же, как раньше, и противники играют так же, и лимиты те же, также и то, что и MO с Dev тоже останутся на прежнем постоянном уровне?

Подразумевается. Если у тебя будут другие МО и СКО, пересчитай по новым цифрам . Питер правду говорит, при наших несколько тыщах рук полученные результаты по МО и СКО - далеки от истинных. Тут главное - из плюсового игрока минусовым не стать .

Да, подразумевается. Но есть одно но, ты играешь со многими противниками, каждый из которых играет по разному. Я понимаю тебя - ты сомневаешься в применимости вышеуказанных формул в жизни. Когда ты играешь со многими противниками из них всех скаладывается такой "усреднённый" персонаж. Т.е. один раз ты влетел на столе, где сидели игроки круче тебя, другой раз ты поиграл с такими лохами, что раздел по полной. В среднем получается один такой средненький игрок. Этот средненький игрок становится чуть лучше постепенно, когда ты шагаешь от лимита к лимиту. Но когда ты играешь много партий (выходишь на дистанцию) - каждый человек в отдельности для тебя не представляет опасности и формулы применимы.

__________________
www.peter-rus.com

Да, и еще одно. Я правильно понял, что сделать вывод с достоверностью 99 процентов что я плюсовой игрок можно лишь после примерно 50K хендов? Иначе при диспе 17bb/100 и результате 2BB/100 после 25K хендов допускается что я могу быть нулевым или даже минусовым игроком.

Это действительно возможно? Ведь эта партирыба которая действует вообще не думая (или сознательно желая проиграть) точно ведь EV-....

В принципе, можно интерпретировать и так. Но ты лучше интерпретируй цифры как теоретическую вероятность того, что будучи плюсовым игроком, ты можешь проиграть.

Петя, привет.

Во первых строках своего поста прошу прощения за собственную лень – прочитал едва треть от написанного в этом разделе, поэтому, если что-то уже обсуждалось, простите великодушно и сильно не пинайте.

Когда ты к МО прибавляешь/вычитаешь некоторое количество сигм, это означает, что результат будет лежать в полученном диапазоне с соответствующей вероятностью, но не МО. И только при условии, что цифры МО и D – корректны.

На мой лоховской взгляд все не так просто . Проблема состоит в неизвестной степени достоверности результатов, полученных путем эксперимента. Ведь если предположить, что «настоящие»*** МО и D другие (например, МО меньше, диспа больше, а реальные результаты всего лишь «уложились» в некоторое количество «настоящих» сигм), то возникает проблема определения N достаточного большого для сходимости к МО в пределах заданного интервала (попросту говоря достаточного для «погашения диспы»). Например, вдруг ты играешь с вдвое бОльшим МО или наоборот, в 0 (типун мне на язык), но Dеv=20BB/100. Т.е. результат 1500 BB не выходит за 2 сигмы : 155000^(1/2)*2*2=1575.


В связи с этим несколько вопросов.
1. Насколько можно доверять данным трекера ? Как трекер считает МО и D ? По формулам, как среднее соответствующих величин, или же проверяет симметричность и «нормальность» распределения результатов по различным тестам. Что он выдает при малом числе хэндов ?
2. Существуют ли теоретические оценки D, хотя бы нижняя/верхняя граница. Грубо : что
получается, если а) все сбрасываем (этот не нужно, сам посчитал ), б) играем только АА в) играем АА, КК, .., АКs, г) …, я) играем все. Хотя бы до флопа.
3. Существуют ли аналогичные цифры полученные симуляцией для игроков разного стиля.
4. Правильно ли я понял, что никто из игроков с близкими параметрами не «улетал» на 132 BB/1000. (4 сигмы, 20-1000^(1/2)*1,2*4, 1игр. день на 2 стола). А "улет" на 94 ВВ/1000 бывает раз в 333 игровых дня ?
5. Проверял ли кто-нибудь соответствие «частоты улета/подъема» на 1, 2, 3 сигмы цифрам из трекера.

Удачи.
Миша.

------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ----
*** - под «настоящими» МО и D я понимаю МО и D на бесконечном числе хэндов при игре по «той же стратегии» с партнерами той же силы («застывшими в своем развитии»).

Привет, Миша. Я боялся, что ты подключишься

Ок. Предположим мы играем отрицательный джек по какой-то стратегии, и не знаем его МО. Мы получили положительный результат X после N партий. Оценка нашего текущего матожидания положительна. Так же мы знаем оценку дисперсии. Мы выдвигаем гипотезу, что они корректны. Подставляем их в формулу и смотрим возможные разбросы результатов. Обнаруживаем, что результаты могут лежать в отрицалове. Но если они туда попадут - очевидно оценка нашего текущего матожидания также перейдет в отрицательную область. Стало быть мы хотим сейчас понять - какова вероятность того, что мы "попадем" в отрицательную область и какой глубины может быть просад на основе имеющихся данных. А таким образом спрогнозировать в каком диапазоне будет плавать оценка нашего матожидания в течение времени. Корректно?

Ведь нам не столь важно знать наше реальное МО, сколько важнее знать в каком диапазоне будет болтаться его оценка.

Допустим после ещё N партий мы спустились так в отрицательную область. Теперь мы подставляем в формулу уже новые оценочные данные и видим, что наша первая гипотеза не слишком достоверна, хотя шансы на то, что она всё-таки близка к верной ещё есть, т.к. по новой формуле с увеличением N пока ещё есть возможность выбраться в плюсовую область, покрывающую первое значение. Далее мы поиграли ещё сколько-то партий и обнаружили, что вероятность того, что рез-ты прибегут к плюсику мизерна, плюнули на этот джек и пошли играть в покер онлайн.

А заодно запомнили число N, которое нам позволило сказать, что мы играем в отрицательную игру.

Это возможно. И вероятность этой гипотезы можно посчитать через имеющиеся экспериментальные данные с определенной достоверностью. Я конечно же не помню как

Да.

Дисперсию он не оценивает на малом кол-ве хэндов.

Нет. Только оценки. Или результаты с помощью компьютерных симуляций, что по сути тоже оценка.

__________________
www.peter-rus.com

Hello!
Я думаю, хотя результат получается правильный приводить МО и дисперсию к одной партии не правильно. Распределение случайной величины "Выигрыш в одной партии" далёк от нормального. Это как раскинуть среднегодовое количество осадков по дням и определить что каждый день понемного льёт дождь или идёт снег, а дней без осадков совсем нет.

__________________
Thanks.

Распределение как раз стремится к нормальному. Что касаемо осадков: нас не интересует, будет ли сегодня(!) ливень или засуха, нас как раз интересует, насколько мало или много будет дождя за год, может ли быть целый год засушливым или нет, и тут матстат отлично работает.

Hello!
Нет. Распределение стремится к нормальному, если брать случайную величину "выигрыш в серии из 100 партий". Распределение для отдельных партий не подходит под нормальное. Если взять результаты, построить график распределения по каждой партии, то на графике будут как минимум две вершины: 1. проигрыши (примерно 1-2 ставки) 2. выигрыши (5-и более ставок). Вообще-то максимув будет наверно больше - самый большой максимум около 0 - тогда, когда мы не играем. Поэтому приводить дисперсию к одной партии и делать расчёт относительно максимальной "просадки" по этим данным не совсем верно.
Возмём гипотетическую игру: из 100 000 партий выиграли 1 000 по 10 ставок и проиграли 9 000 по 1 ставке. Матожидание будет 10 ставок на 100 партий, можно посчитать и дисперсию в расчёте на сто игр, но приводить результат к одной не правильно, график распределения не гауссовкий, нессиметричный. Что это означает? При гауссовском распределении не важно что мы ищем, максимальную просадку, или максимальное превышение - оно одинакова, так как распределение симметрично. А в нашем случае например вероятность серии при которой мы выигрываем 10 ставок будет 0,1 (один раз выиграли и всё), а вот вероятность проиграть в одной серии 10 ставок будет 0,9^10=0,35 (должно проиграть 10 раз подряд) т.е . выше в три раза! С вероятностью 0,1 мы програем 21-22 ставки. Т.е. тут налицо нессиметричноть.
По результатам реальных, а не гипотетических игр распределение сложноее и это расхождение посчитать сложнее, (оооченнь сложно) но "перекос" определённо будет, причём в сторону проигрыша. (Хотя возможно намного меньше чем 3 раза).

__________________
Thanks.

Давай вместо одной партии возьмем как в трекере - 100 партий (условно 1 сессия). На дистанции в 100 игр распределение будет нормальное, вместо 10000 партий будет 100 сессий . В общем, думаю, формулы все еще применимы.

Hello!Про что и разговор! Это будет правильно.
Единственно при определении максимальной "просадки" результат тоже будет по сессиям, т.е. результат будет занижен, потому что внутри сессии будет дополнительная "просадка". Очевидно Питер приводит дисперсию к одной партии именно для того чтиобы посчитать общюю просадку. Это конечно точнее чем оченка по 100игровым сессиям, но может отличатся от реального в разы за счёт нессиметричности распределения. (А может и не может ). Точно можно посчитать, только если иметь результаты ВСЕХ партий. (Именно результаты, а не дисперсию, МО и пр. параметры). Тогда мы, точно так же как Госсет сможем составить свое уравнение распределения (можно назвать своим именем!)
А пока можно использовать формулы, что привел Питер, только надо иметь в виду, что это как бы оптимистичная, оценка "просадки". Минимим так сказать.

__________________
Thanks.