Новая задача про шкатулки

[Зарегистрироваться?]

__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников.

Называйте меня кем хотите, но со шкатулками все элементарно. +25%.
Выбираем вторую шкатулку: повезло-удваиваемся, не повезло- теряем только ПОЛОВИНУ. (0.5*2*S + 0.5*0.5*S)-S=0.25*S.

__________________
Вероятность крупного выигрыша в лотерею всегда одинакова и не зависит от того, купили вы лотерейный билет или нет.

Не переживай, ты не одинок в своих заблуждениях. Эта задача действительно очень сложна в понимании.

ИМХО, задача равносильна следующей.
У нас есть 1К$, нам предлагают их поставить сыграть коинфлип в покер (кинуть монетку и т.д., где шансы 50/50), выигрываем- получаем 2K$, проигрываем - получаем возврат ПОЛОВИНЫ ставки т.е. 0,5К$.

__________________
Вероятность крупного выигрыша в лотерею всегда одинакова и не зависит от того, купили вы лотерейный билет или нет.

Возьми для конкретики две суммы, скажем 100 и 200. Посчитай свое МО для случая когда ты береш первую открытую сумму. Это 0.5*100+0.5*200=150. Теперь посчитай свое МО для случая когда ты всегда меняеш свой выбор. Это так-же 0.5*100+0.5*200=150. И где здесь преимущество в 25%? Суть данной операции - проверка твоей теории. Она отчетливо показывает нам что твоя теория не верна. Можно придумать миллион похожих задач с коинфлипом, но в этой задаче его НЕТ. Шансы 50/50 ты придумал САМ, о них в задаче ни слова не сказано.

МО от ВЫБОРА шкатулки (№1 или №2) = 150 - полностью согласен.
МО от ИЗМЕНЕНИЯ ВЫБОРА шкатулок = 0.5*2*(200+100)/2 + 0.5*0.5*(200+100)/2 = 187,5

187,5-150=37,5 - вот мои 25%.

ИМХО, Вы сравниваете МО от различных действий и никакого парадокса здесь нет.

__________________
Вероятность крупного выигрыша в лотерею всегда одинакова и не зависит от того, купили вы лотерейный билет или нет.

Тяжело с покеристами говорить о математике. Я выбрал 100, изменил выбор, получил 200. Я выбрал 200, изменил выбор, получил 100. МО смены выбора равно 150. Никаких дополнительных слагаемых в расчетах нет. И не надо их придумывать. Чем отличается выбор левой шкатулки сразу от выбора левой шкатулки после открытия правой? Из за лишнего движения рукой в ней денег автоматически станет больше? Какова причина появления этих мифических 25% при смене выбора?

Обращаюсь ко всем, кто согласен с е2е4: Я понимаю откуда они у ВАС берутся - из за того что ВЫ ошибочно берете шансы 50/50. Я даже понимаю почему ВЫ думаете что это правильно, но объяснить ВАМ причину ВАШИХ заблуждение на ВАШЕМ языке увы, не могу. Попытки сделать это на данном форуме предпринимались неоднократно и не только мной, но ни одна из них не увенчалась успехом. Подобных постов в темах про шкатулки сотни, ссылки я привел выше. Посему предлагаю в очередной раз остатся при своих мнениях.

Вот так. Под одну гребёнку. Не то, чтобы я обиделся, просто недоумеваю, неужели среди покеристов преобладают дремучие невежды?

Как покерист казиношнику, ответственно заявляю: лично для меня ответ в этой задаче очевиден и он совпадает с твоим.

P.S. Интонация певрого абзаца ироническая

Правильно Коровин сказал. В общей массе, так и получается. Для меня ничего очевидного нет в этой задаче. Почитал википедию, успокоился, что оказывается и, действительно, не так всё просто.

Теперь я сам с собой не согласен.

__________________
Вероятность крупного выигрыша в лотерею всегда одинакова и не зависит от того, купили вы лотерейный билет или нет.

Может быть проведем конкурс на самое доходчивое освещение вопроса: Почему в задаче о шкатулках простая формула "(1/2)*0.5+(2)*0.5=1.25" дает неверный результат?

Очевидно что проблема в данных, которые мы используем. Рассмотрим эти данные: (1/2) и (2) это возможные суммы относительно суммы в открытой шкатулке. Эти суммы заданы в условии задачи. Остается вероятности 0.5 и 0.5. Проблема может быть только в них, других данных в формуле нет. Давайте думать откула они у нас появились. В задаче где-нибудь сказано про эти вероятности? НЕТ. Получается что мы их сами придумали, нам ведь надо было что-то подставить в формулу чтобы посчитать МО. Приходим к вопросу: Почему человеческий мозг решает подставить в формулу именно 0.5 и 0.5, а не 1/3 и 2/3 например? Наш мозг "знает" что шансы открыть большую либо меньшую сумму их двух возможных 50/50. Из этого "знания" он по принципу "похожести модели" выдает нам ложный вывод о шансах 50/50 найти во второй шкатулке либо 1/2 либо 2. В какой-то момент в нашем мозгу происходит подмена понятий и мы, взрослые, образованые люди уподобляемся блондинке ихз анекдота про вероятность встретить на улице динозвра.

Собственно, все это я уже писал здесь год назад в теме, которую специально для этого и создал https://forumcgm.org/msg?th=16061&start=0 но тогда форум оказался не готов к обсуждению этой проблемы. Не уверен что и сейчас это получится.

А почему надо объяснять именно это, а не обратное?
Ведь эта задача - парадокс, прелесть которого в том, что видна противоречивость двух подходов решения. И смысл, например, понять, как нужно избежать ошибки в решение проблемы, ведь можем столкнутся с задачей, где ни будет другого очевидного подхода в решении для проверки.

Если в задаче мы принимаем, что вероятности не 1/2. Но на самом деле вероятности какие то определенные есть увидеть более маленькую, большую сумму. Мы можем легко вычислить, зная МО. Если обобщить задачу, если суммы не в 2 раза отличаются, а в n. То тогда, эти вероятности будут зависит от n - механизм этой зависимости не понятен.

Почитав вики, мне вот больше понравилась другая задача-парадокс, которая собственно из этой и родилась. Вот мой перевод:
В шкатулках суммы 2^n, 2^(n+1) с вероятностью 2^n/3^(n+1), n=0,1,2... Понятно, что если мы увидели в шкатулке 1, то надо менять, т.к. в другой точно 2. Далее считают МО смены выбора, когда мы видим x. МО=11/10 * x. Т.е. надо менять. Парадокс тут такой же: получается можно менять, не глядя. Один из вариантов объяснения этого парадокса: МО для любой стратегии - бесконечность. И это просто еще один пример известного феномена, странное поведение бесконечности
Почему в изначальной задачи такому же объяснению не быть?

А почитав дальше статьи из списка литературы в вики можно еще много интересного узнать . Например вот это.

Рассмотрим другую задачу, очень похожую на эту. Деньги в два конверта раскладываются по следующему принципу: монетка подбрасывается до тех пор, пока не выпадет орел, и в один конверт кладется 2 в степени количества выпавших решек $, так же определяется сумма в другом конверте. Открываем один конверт, там сколько-то денег, надо ли менять?

Легко вычислить, что МО денег в конвертах бесконечно (1/2+1/2+1/2+...), поэтому какую бы конечную сумму мы не нашли в первом конверте, менять выгодно.

Но отсюда нельзя сделать вывод, что МО замены положительно! Очень контринтуитивная вещь.

Интуитивные вывод "Если МО(замены | открыто x$) > 0 для любого x, то МО(замены) > 0" - неверен! (здесь | означает "при условии")

МО(замены) = сумме по всем возможным парам (А, В) и (В, А) в конвертах разностей между ними, как положительных, так и отрицательных, причем отдельно сумма положительных и отдельно сумма отрицательных расходятся. В таком случае перестановкой слагаемых сумму можно превратить во что угодно. То есть сумма не определена. Группировка слагаемых в пары, дающие МО(замены | открыто x$) для разных х, приведет к положительной сумме, но другой группировкой она может быть приведена к отрицательной.

В задаче о шкатулках с распределением с бесконечным МО первого выбора получается то же самое: менять всегда выгодно, но при этом нельзя утверждать, что МО замены положительно. Можно считать это парадоксом, а можно нормальным математическим фактом.

Доказано, что никакие распределения с конечным МО не приводят к парадоксу.

Как я понял, это самое общепринятое мнение, с ним согласны почти все исследователи.

PS: не смог найти вот эту статью ("Clark and Shackel, The Two-Envelope Paradox, in Mind July 2000") в открытом доступе, если кто найдет (или вдруг купит), дайте почитать В ней мнение, отличающееся от большинства.

__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников.

Так дело в том, что мы НЕ знаем МО в деньгах ни до открытия первой шкатулки, ни после открытия первой шкатулки. 100$ нам не дает информацию о МО игры как раз из за того, что мы не знаем с какой верояностью в другую шкатулку положили другую сумму. Об этой вероятности в задаче нигде не сказано. Говоря о подмене в нашем мозгу я имел ввиду следующие 2 модели:

1. Моделть с закрытыми шкатулками. МО= 0.5*Х+0.5*2*Х=1.5Х. Х не известен - МО не определено.

2. Модель с 1-й открытой. МО= Р*(S/2)+(1-Р)*(2*S). Р не известна, МО по прежнему НЕ определено.

Наш мозг тупо берет вероятнсти из первой модели и подставляет из во вторую, пытаясь посчитать МО, посчитать которое в данном случаве невозможно, как нам бы этого не хотелось, отсюда и получатся левое МО=125$. Тоже самое зачастую происходит и с многими покеристами. Не имея возможности знать свой настоящий винрейт, они тупо придумывают себе что играют в плюс, только потому что им очень хочется так думать, а все неудачи списывают на дисперсию, ГСЧ или стрики. ИМХО

Заковырка в задаче (опять же ИМХО) в том, что нам предподносят эти 100$ как результат нашего случайного выбора. Подумайте, если бы нам вынесли ЭТУ шкатулку уже открытой и сказали бы только что в другой либо вдвое больше либо вдвое меньше, разве нам в голову пришло бы что шансы 50/50? Так в чем же принципиальное отличие между заранее открытой шкатулкой с сотней и открытой нами шкатулкой с той же сотней? Неужели для нас так важно кто ее открыл - дядя за сценой специально или мы случайно? Почему в первом случае мы понимаем что шансы НЕ 50/50, а во втором случае упорно НЕ хотим понять этого? Вот это действительно парадокс - парадокс человеческого мышления.

А есть ли у нас какие-либо основания полагать, что вероятность того, что во 2-й шкатулке больше денег чем в открытой больше чем вероятность того что в ней меньше?

Интуитивно совершенно ясно, что МО не изменится. Но приводимое доказательство в этом не убеждает.

__________________
«Не умеющие мыслить воображают, что они распоряжаются судьбами тех, кто мыслит на самом деле» (C)

Рассмотрим событие: "По дороге в казино мы встретим рыжего мужчину".
Есть ли у нас основания предпологать что вероятность встретить больше чем не встретить? Мы знаем только что либо встретим либо нет, для оценки МО у нас нет данных. На каком основании мы можем принимать их за 50/50? С тем же успхом (нулевым) можно взять 60/40 или 70/30

Все понял. Спасибо. ИМО большинство как раз и не понимает эту задачу как раз потому, что многие привыкли оценивать взаимоисключающие события как равновероятные. На самом деле надо еще и убедиться, что они случайны.

__________________
«Не умеющие мыслить воображают, что они распоряжаются судьбами тех, кто мыслит на самом деле» (C)

А потом убедиться что они не только случайны но и равновероятны.
Ну или не равновероятны. И, кстати, кчёрту рыжего мужчину (надеюсь никого не обидел ), есть веть древний анекдот про вероятность встретить динозавра - типа или встретим или нет = 50/50. Также и со шкатулками здесь у тех кто не вкуривает

пусть в шкатулках Х и 2Х денег. открыв любую из них, с вероятностью 50% мы получим Х либо 2Х. изменив выбор, превратим Х—>2Х, а 2Х—>Х. т.е. меняй-не меняй - как было так и осталось (2Х+Х)/2.

теперь с такой же уверенностью можно утверждать следующее: как только мы сделали выбор шкатулки мы потеряли в среднем 25%.
на примере: открыв шкатулку, и увидев там 100р.
"Если мы сменим выбор- то 100р(1/2)*0.5+100р(2)*0.5=125р."
Аналогично можно утверждать следующее: как только мы открыли шкатулку, то потеряли в среднем 25р.

ИХМО вся трудность в том, что при решении происходит подмена условия "мы можем выбрать любую из шкатулок" на условие "у нас есть к-сумма".

Например, если нам принесли 2 шкатулки, отдали деньги из одной (мы ничего не выбирали) и заявляют, что с вероятностью 50% в другой шкатулке денег больше/меньше - это совсем другая задача.


ps. сорри што многа букоф и за предыдущие посты
update.
2Korovin - отдельное спасибо за разъяснения мне тупому

__________________
Вероятность крупного выигрыша в лотерею всегда одинакова и не зависит от того, купили вы лотерейный билет или нет.