Шкатулки. Голосование.

Фигасе. Уже полтора года прошло, а шкатулки все не дают людям жить спокойно. Сразу скажу, что писали за последний год я не читал, так что, возможно, повторюсь. Вообщем, решение задачи:

Итак, к нам приходят, приносят две шкатулки и говорят, что в одной из них денег в два раза больше, чем в другой. Суммы никакие не называют. Т.е. в одной шкатулке некий абстрактный y, а в другой – 2y. Очевидно, что матожидание случайного выбора составляет 1.5 y, где y – наименьшая из двух сумм.
Далее, ведущий сообщает нам, что (для полноты – три варианта):
1) Наименьшая из двух сумм – x$ (конкретная величина). Тогда y=x и наше матожидание равно 1.5x$, что по прежнему равно 1.5y.
2) Наибольшая из двух сумм – x$. Тогда 2y=x и наше матожидание 0.75x, что по прежнему равно 1.5y.
3) В одной из шкатулок x$, причем в какой именно – неизвестно и это равновероятно может быть как большая сумма, так и меньшая. РАВНОВЕРОЯТНО! Это условие задачи, всякие измышления о том, что это не так, конструктивными не считаются.
Оппа, говорим мы. Тогда можно сказать, что с вероятностью 50% y=x, или же, опять 50%, 2y=x. Т.е. матожидание y = 0.75x$, а наше матожидание открытия случайной шкатулки – 1.5*0.75x$=1.125x$, что по прежнему равно 1.5y. Итак, информация о том, что в одной из шкатулок лежит x$, без указания, в какой именно и является ли x большей суммой или меньшей, не изменяет наше матожидание, а только позволяет выразить его через x$.

Более подробно третий вариант можно рассмотреть так: мы имеем два равновероятных набора шкатулок: 0.5x–x, и x–2x. Матожидание случайного выбора шкатулки из первого набора – 0.75x, из второго – 1.5x. Итого, имеем те самые 1.125x.

Далее, ведущий смотрит на нас и дает вторую подсказку: x$ лежит в левой шкатулке. Хрясь! – сказала пила. Ага! – сказали мужики. Чувствуете поворот дела? У нас уже не просто две шкатулки, а левая шкатулка с x$ и правая, с неизвестной суммой. Какой? 0.5x$ или 2x$ – равновероятно. И вот тут-то мы уже можем открывать правую шкатулку с матожиданием 1.25x$. Т.е. информация, о том, в какой именно шкатулке x$, даже без информации, большая эта сумма или меньшая, помогает нам увеличить матожидание, ибо придает шкатулкам индивидуальность – мы можем уже выбирать не случайно, а вполне определенно. Фактически, эта информация убирает половину неопределенности из предыдущего абзаца – теперь мы не знаем только 0.5x$-x$ или x$-2x$, но где именно x$ знаем вполне четко. Понимающие люди уже догадались, что открыв одну шкатулку и увидев там 100$, мы оказываемся именно в той же ситуации, что и когда ведущий нам сказал величину x$ и где именно она лежит. Это и обеспечивает рост нашего матожидания по сравнению с той ситуацией, когда мы просто знаем величину x$, но не знаем, где она находится. 1.25x$ против 1.125x$.

Теперь давайте разбираться с парадоксами. Итак,
Парадокс 1. Не открывая шкатулку, предположим, что там z$. Тогда, матожидание второй шкатулки – 1.25z$. Но если мы будем рассматривать вторую шкатулку, предполагая, что там 1.25z$, то тогда можно сделать вывод, что в первой шкатулке 1.25*1.25z$. Т.е. силой мысли МО наращивается до бесконечности. Увидели ошибку? Нет? Тогда еще раз по шагам. Итак, в первой шкатулке z$. Тогда МО второй – 1.25z$. Тогда МО первой… а вот фик, а не МО первой. Все предположения относительно второй шкатулки строились исходя из аксиомы, что в первой – z$. Т.е., начав рассуждения с того, что в первой z$, мы не имеем права строить какие-либо предположения о другой сумме в этой шкатулке. Или, если иначе, то 1.25z$ во второй будет тогда и только тогда, когда в первой z$. Разобрались.

Теперь рассмотрим второй парадокс. Точнее, даже нулевой, так как именно он лежит в основе всей проблемы.
Парадокс 0. Не открывая шкатулку, предположим, что там z$. Тогда МО второй шкатулки – 1.25z$. Тогда, не открывая первую шкатулку, мы должны выбрать вторую. Т.е. из двух одинаковых шкатулок одна является более предпочтительной. Нонсенс. Мдя, тут, пожалуй, будет потруднее – придется не только калькулятором щелкать, но и головой думать. Итак, две шкатулки, в одной y, в другой 2y. Предположим, что в левой шкатулке z$. Стоп! Какой еще z? У нас только y и 2y. Понимаете, когда ведущий называет нам x$, даже не говоря, где именно x$ лежит, он тем самым создает два возможных набора шкатулок 0.5x-x и x-2x. МО случайного выбора в этом случае, напоминаю, по прежнему остается 1.5y=1.125x. До тех пор, пока мы не получаем об x$ никакой достоверной информации (от ведущего ли, или же из открытой шкатулки) мы можем оперировать только y и 2y. Корректное рассуждение должно звучать так: Предположим, что в данной шкатулке z$. Тогда, мы должны предполагать, что существуют два равновероятных диапазона 0.5z-z и z-2z и мы попали именно в середину (т.е. в z). И далее следуют рассуждения, аналогичные приведенным выше, дающие нам МО 1.125z=1.5y.

Зря не читали год, потому что я просил обсуждать в моих ветках только исходную задачу, а для других задач создавать новые ветки. Иначе винигрет опять получится

Коровин, ответ на исходную задачу будет БЕЗ РАЗНИЦЫ. Доказательства приводились уже много раз и они все в той или иной мере верны.

Твое решение:

[/quote]

не добавляет к МО НИЧЕГО, поскольку до открытия первой шкатулки там могло быть любое (АБСОЛЮТНО ЛЮБОЕ положительное число баксов) и вероятность Р того, что К попадет в интервал [x, 2x} равна нулю. Таково чисто математическое решение задачи.

Поясню по второму вопросу. Действительно, исходя из условий,область возможных значений не определена ДО открытия первой шкатулки. Т.е в шкатулке у нас запросто могло оказаться как 10^-10 долл, так и 10^10. А могло и 10^1000. И нас бы это не удивило Но ведь ты выбираешь число К также ДО открытия первой шкатулки, поэтому можно абсолютно утверждать, что ты НИКОГДА не попадешь в интервал [x, 2x}.

Сложность восприятия этого заключается в том, что мы имеем дело с ДЕНЬГАМИ, т.е с той категорией, которая как бы сама собой подразумевает ограничение нашим сознанием области допустимых значений.
Яркий пример этого - "штука меня не спасает, а лям - реальная капуста" (сорри у автора, не нашел сразу чья цитата ) Если представить, что у нас в шкатулках не деньги, а абстрактные числа и наша задача открыть как можно большее число, то вроде переварить это легче.

Ещё раз внимание Коровин- БЕЗ РАЗНИЦЫ!

__________________
Не мечи бисер перед свиньями. (Иисус Христос).

Попробую обобщить все проблемы со шкатулками в одном месте. Далее в коментариях прошу указывать номер обсуждаемой проблемы. ВАЖНО! Мы обсуждаем только исходную задачу нукера и никакую другую:

Мое решение данной конкретной задачи:

Пояснения. Казалось бы, при любой стратегии выбора шансы остатся с большей суммой из двух предложеных всегда строго 50%. Однако, используя критерий значимости мы можем в отдельных случаях гарантировано уйти с большей суммой. Условия данной задачи не дают нам возможность предложить механизм вычисления этого критерия, равно как и оценить дополнительное преимущество, которое он может нам предоставить. Однако, я могу уверенно утверждать что наше дополнительное преимущество при использовании моего решения будет >=0. Лично мне очевидно что >=0 лучше чем просто =0.

Рассмотрим откуда и в каком случае мы можем получить дополнительное преимущество. Всего возможны 3 варианта

1. Обе предложенные нам суммы попадают в нашем определении под ЗНАЧИМЫЕ. Выбрав любую из них мы не будем менять свой выбор. Наши Шансы уйти с большей суммой 50%.
2. Обе предложенные нам суммы попадают в нашем определении под НЕ ЗНАЧИМЫЕ. Выбрав любую из них мы поменяем свой выбор. Наши Шансы уйти с большей суммой 50%
3. Меньшая сумма попадает в нашем определении под НЕ ЗНАЧИМУЮ, а большая под ЗНАЧИМУЮ. Выбрав меньшую из них мы поменяем свой выбор, а выбрав большую оставим ее. Наши Шансы уйти с большей суммой 100%
Чествертый вариант, когда мы оставим себе меньшую сумму и поменяем большую ИСКЛЮЧЕН, так как большая сумма не может оказатся менне ЗНАЧИМОЙ чем меньшая.


1. Математическая проблема

Я исхожу из того, что если я НИКОГДА не попаду, то я ничего не теряю, а если ВДРУГ попаду, то я гарантировано забдеру большую сумму. Вы утверждаете что это ВДРУГ абсолютно исключено, я не согласен с такой категоричностью. Если мы говорим об абстрактной математической задаче, не имеющей отношение к исходной (почему - см. ниже), я могу согласится только с тем что Р->0, но никак не Р=0. Даже если я не прав, моя стратгия с точки зрения математики однозначно НЕ хуже тупой стратегии "БЕЗ РАЗНИЦЫ".


2. Физическая проблема. То, что БЕЗ РАЗНИЦЫ - чисто математическое решение абстрактной задачи, возможно, если P=0 действительно строгое равенство (см. выше). Однако, где в условии задачи есть намек на то, что она чисто математическая, если там присутствуют физические объекты: человек, шкатлки, деньги? В нашей задаче прямо указано на физические суммы денег а не на бумажки с абстрактными числами, например. В контексте данной задачи я сильно сомневаюсь что если Жарас откроет в казино обычную деревянную шкатулку и найдет там бисиксилион настоящих американских долларов, он не удивится. Вопрос: какое отношение его рассуждения о суммах 10^1000 и выводы, которые он из них делает, имеют отношение к нашей задаче?

Практический пример применеия моей стратегии я уже приводил:

Кто не согласен с тем, что на практике моя стратегия лучше тупой стратегии "БЕЗ РАЗНИЦЫ"?


3. Проблема парадокса. Судя по голосованию, для многих до сих пор так и осталось не ясно, почему существуют 2 противоречащих математически "правильных" решения:

а) Нет разницы менять или нет, так как если мы обозначим за Х меньшую сумму, при любой стратегии выбора мы ожидаем получить (Х+2Х)/2=1.5Х
б) Наши шансы открыть изначально большую/меньшую сумму 50/50 значит МО смены выбора =50/2+200/2=125$ против 100$ в первой, т.е. выгодно всегда менять свой выбор.

Логически понятно, что оба решения не могут быть одновременно правильными. Доказательство того, что первое якобы "правильное" не объясняет, почему неправлиьно второе, так как второе решение так же содержит в себе математическое "доказательство" своей "правильности" и с точки зрения логики они ОБА имеют право быть признаны как "правильное", если в доказательстве нет проблем. Поиску проблемы в доказательстве второго решения я посвятил отдельную ветку и высказал там свою версию:

Данная проблема не имеет прямого отношеня к решению задачи, но именно она явилась причиной повышеного интереса к ней, поэтому требут на мой взгляд отдельного рассмотрения.

Ну что за бред, какое это отношение имеет к задаче и, уж тем более, как это опровергает парадокс...

3. Проблема парадокса.

Это показывает что никакого парадокса в задаче нет, так как нет никакого МО в 125$. МО нашей игры в деньгах НЕОПРЕДЕЛЕНО как до открытия первой шкатулки, так и после ее открытия. увидиная сумма не дает нам информации, позволяющей посчитать МО в деньгах, так как шансы обнаружить во второй шкатулки 50 либо 200$ нам неизвестны.

Эта проблема имеет прямое отношение к решению задачи, так как постоянно уводит обсуждение на себя. Не разобравшись с этим до конца нет смысла обсуждать проблему в доказательстве первого решения (всегда 1.5Х).

Млин, все, как только речь заходит о заговоре мировых правительств и мухлевании в вполне однозначном условии - я пас. Удивляет только как с такой тягой к подмене понятий люди умудряются профессионально ирой заниматься.

3. Проблема парадокса

Пас так пас. Ктонибудь из следящих за темой смог найти в решении от RHnd прямой ответ на вопрос задачи: "Нужно ли менять свой выбор увидев в первой шкатулке 100$ и почему?" Я не нашел.

Нужно. Так как единственным аргументом против того, что во второй шкатулке равновероятно 50 и 200 - мухлеж ведущего. А это неконструктивно и к решению абстрактной матзадачи отношения не имеет.

3. Проблема парадокса

Мудреная фраза, но если я прав в том что ключевое слово тут "нужно", в которое ты вкладываеш смысл "выгодно", тогда вот мое мнение о твоем решении в том виде как я его понял:

Не уверен что ты готов обсуждать проблему твоей подмены условий задачи, но данный вопрос тут уже давно перетерли и пришли к выводу: Любая тупая стратегия принятия решения типа "всегда меняем свой выбор увидив 100$", "никогда не меняем свой выбор увидив 100$", "увидив 100$ меняем свой выбор основываясь на броске монетки", и.т.п. приводят к одинаковому результату с точки зрения МО, так как фактически дают нам случайный выбор из двух сумм, одна из которых больше другой с шансами выбрать большую 50%.

Твоя аксиома о том что "во второй шкатулке равновероятно 50 и 200" опровергает эти выводы и противоречит элементарной логике. Причина того, что у тебя получается "нужно" менять в том, что ты сам придумываеш условия какой-то своей задачи, а потом пытаешся выдать ее за исходную, объявляя все возражения неконструктивными:

Попробуй применить свои рассуждения для 2-х ситуаций, которые могут возникнуть в одном и том же розыгрыше:

1. Ведущий назвал (показал) тебе сумму в 100$
2. Ведущий назвал (показал) тебе сумму в 200$

Тебе не кажется странным что ты полуиш разные цифры МО решений, не имеющих ничего общего с реальным МО игры в 150$

итак пусть в одной шкатулке x в другой 2x денег.
До того как приступать к расчётам, необходимо дать экспертную оценку поведения двух функций: первая - плотность распределения x (p(x), исходя например из финансовых возможностей эксперементатора), вторая - ценность денег для участника эксперемента (v(x), исходя из финансовых возможностей участника эксперемента и его психологических особенностей ($2милиона не в 2 раза лучше чем милион $, а $99 хуже чем $100 вовсе не на 1 процент и всё такое в этом духе )). после этого задача приобретает вполне конкретный математический смысл, берём пару инетегральчиков и спим спокойно.

:o ну если мы всётаки ввёдем это _дополнительное_ условие то скажите мне пожалуйста чему будет равно ожидание нашей прибыли до того как мы открыли первую шкатулку? как вы считаите такое возможно в реальном мире?

Мне откровенно лень решать задачи с неравномерным распределением денег по шкатулкам и я не желаю рассматривать при решении абстрактной задачи фактор ценности этих денег. Вопрос стоит о максимизации выигрыша на дистанции из очень большого числа экспериментов со шкатулками.

То, что здесь давно перетерли и пришли к выводы - ну и что, если вывод неправилен? До того, как мы узнаем какую-то сумму, мы вообще не можем говорить о МО, выраженном в баксах. После того, как мы узнали, что в одной из шкатулок есть 100$, но в какой именно не узнали - мы можем выразить свое МО в баксах - 112.5$. Это уже новая информация. А после того, как мы узнали, в какой именно шкатулке лежат эти 100$, мы получили еще дополнительную инфу и наше МО выросло до 125$. Это вообще чуть ли не новая задача.

Могу предложить такой эксперимент. Берем 50$, 100$, еще 100$ и 200$. Берем два комплекта шкатулок - две белые и две черные. Я, в тайне от тебя, кладу либо в белые 50$ и 100$, а в черные 100$ и 200$, либо наоборот. После этого отдаю все четыре шкатулки тебе. Ты, не подглядывая, выбираешь любой комплект и отдаешь его мне. Я открываю случайную шкатулку. МО игры - 112.5 баксов. Второй вариант. Ты отдаешь мне случайный комплект. Подходит кто-то третий, втайне заглядывает в обе шкатулки и открывает ту, в которой 100$ - а в одной из них 100$ есть точно. После этого я открываю вторую шкатулку. Все, мое МО выросло до 125$.
На сколько я могу судить, мой эксперимент подходит под условия задачи - передо мной две шкатулки, в одной в два раза больше, чем в другой, в одной из них 100$, причем я знаю в какой.

Или третий эксперимент. Никто третий не приходит, я просто открываю одну шкатулку и сразу же меняю свой выбор. Так вот, даже в этом случае, а ведь это полный аналог случайного выбора, сумма во второй шкатулке, в среднем, будет составлять 1.25 от суммы в первой.

Просто вы все дружно путаете 1.25 от суммы в открытой шкатулке и 1.5 от наименьшей из двух сумм.

Да пожалуйста, лень решать с неравномерным - можно считать распределение равномерным, тогда нам необходимо задать значения xmin и xmax. Имеем такой вот простой частный случай для p(x). влёгкую считаем. естественно как и подсказывает нам (но видимо не всем ) здравый смысл априорного ответа о том стоит ли менять шкатулку мы дать не можем. ответ будет зависеть от наших xmin, xmax и от того что мы увидим в открытой шкатулке.
а вот это ваши домыслы . вопрос заключался в том, стоит ли менять шкатулки.

3. Проблема парадокса.

В том то и дело, что выводы по нашей задаче мы сделали правильные, а ты просто отстал от темы, так как не читал ее, и продолжаеш решать придуманую тобой задачу. Нет в нашей задаче никаких МО ни в 112.5$ нив 125$, есть либо МО в 75$ либо МО в 150$. Какое именно мы не знаем и открытая сумма в 100$ дает нам только облатсть определения второй суммы, но ни о каких шансах в 50% речи быть не может. Эти шансы нам абсолютно не известны. Поэтому и нет в нашей задаче никакого парадокса "решения". Есть только парадокс "непонимания".

Не мало людей серьезно занимающихся игрой, не согласны с твоим решением: "МО смены выбора больше 100$". Если не вериш - прочти все что тут за год было написано. Пойми, что пока мы с тобой решаем разные задачи с разными ответами, мы никогда не придем к общему мнению. Причем, я прекрасно понимаю о чем ты говориш, чего и тебе желаю.

Ладно, не согласны и пусть. Простейший эксперимент подтвердит мою правоту, если, конечно, мы сможем о правилах эксперимента договориться.

Мне это слегка напоминает ситуацию, что нам сдали KK. В нас летит олень. Мы точно знаем, что оленя тут дают на JJ-AA. принимаем? Конечно, у на +МО. А в этот самый момент кто-то заглядывает в карты карты противника, видит там AA и утверждает, что наше МО отритцательно. Да, это новая информация, она наше МО меняет. Да, в данной конкретной ситуации у нас -МО, но что, мы из-за этого должны всегда сбрасывать карты?

Ну объясните мне, ну с чего вдруг сумма во второй шкатулке не равновероятно 50-200?

PS: Мне вот интересно, еще кто-нибудь, кроме Коровина, считает, что МО смены шкатулки не равно 125$?

НУ это то какраз элементарно . Пусть это так (тоесть мы априорно знаем, что какую бы шкатулку мы не открыли вероятность удвоиться и уполовиниться со второй попытки равна) тогда из этого следует, что X _равномерно_ распеределён на интервале (-бесконечность, +бесконечнось). Сами понимаете - это хрень . Следовательно, априорно у нас таких сведений быть не может
я уверен что вообще говоря МО не равно $125.

Посмотри результаты опроса в этой теме или почитай предыдущие обсуждения. Мой опрос говорит мне о том что 80% ответивших участников ФОРУМА О ИГРАХ НА ДЕНЬГИ не поняли задачу. Видимо придется всетаки создавать еще одну тему:

4. Проблема понимания задачи

RHnd, мы с тобой совершенно не знакомы и ничего не знаем друг о друге. У меня дома есть сейф, в котором Я храню наличные доллары, далее шактулка_К. Если у тебя нет такого сейфа, пусть это будет ящик стола или просто заначка, где ТЫ храниш наличные доллары, далее шкатулка_Р. Для чистоты эксперимента подсыпь в свою шкатулку немного центов, тогда мы полностью исключим ситуацию равенства сумм. Имеем: в одной из шкатулок либо К, либо Р денег больше ченм в другой, в какой - неизвестно.

Какова вероятность того, что посторонний человек выбрав одну из них случайным образом найдет там большую сумму? 50%. Так?
Какова вероятность того, что посторонний человек выбрав любую шкатулку случайным образом, а потом поменяв свой выбор найдет в другой шкатулке бошльшую сумму? 50%. Так?
Какова вероятность того, что посторонний человек выбрав любую шкатулку случайным образом, изучив ее содержимое, а потом поменяв свой выбор найдет в другой шкатулке бошльшую сумму? 50% Так?

Теперь очень важный вопрос: Какова вероятность того, что в шкатулке_Р больше денег чем в шкатулке_К? 50% или "а черт его знает - у нас нет данных для ответа"?

Анегдот в тему: Блондинку спросили "какая вероятность встретить на улице динозавра (тигра, собаку, мужчину...)?" "50% или встречу или нет" - ответила блондинка.

Предлагаю не уподоблятся этой блондинке а подумать (только очень хорошо подумать), а потом ответить себе, есть ли разница в следующих понятиях:

1. Вероятность того, что в левой шкатулке больше денег чем в правой.
2. Вероятность того что в шкатулке, содержащей 100$, больше денег чем в другой.

Если мы понимаем почему во втором случае не 50%, то можно двигатся дальше. Шкатулка из нашей задачи, в которой мы нашли 100$ это шкатулка_Р. Вторая шкатулка это шкатулка_К. По условию задачи мы знаем только что там либо больше денег (200$) либо меньше (50$) и все. Ни о каких 50% в задаче не сказано. Придумывая эти 50% ты получаеш другую задачу, для можелированя которой тебе уже не достаточно пары шкатулок, тебе требуется 2 пары (нестыковку с нашей задачей не находиш?) Ее ты конечно же решаеш, считать МО ты умееш, но какое отношение это все имеет к нашей исходной задаче?

Я полагаю что наш мозг заклинивает в тот момент, когда мы приравниваем конкретную физическую шкатулку к абстрактной "левой". ИМХО, эта задача не на уменее считать МО, это тест на понимание теории вероятности.

Вот еще одна задачка на понимание https://forumcgm.org/msg?th=12378&prevloaded=1 tart=0 годичной давности, если кто-то пропустил. Она проще нашей.

Удивительно 8O . По видимому для положительной игры в покер не нужно знать даже что такое условная вероятность. Более того, абсолютно не обязательно понимать эти вещи хотябы интуитивно.