Шкатулки. Голосование.

Блин, ну это уже совсем не серьезно. Хорошо, давайте так: x равномерно распределен от 1 до 1000 с шагом 1$. В одной шкатулке больше, чем в другой ровно в два раза. Варианты, когда по открытой шкатулке мы можем точно определить, большая это сумма или меньшая - мы не рассматриваем, предельный случай, неинтересно.

Коровин, я не хочу отвечать на твои посты, так как вижу, что мы действительно не договорились об условиях задач. Твой пример с сейф это подтверждает.
Предлагаю такой вопрос: Две шкатулки. Всего две. В одной 100, в другой 50. Так вот, я утверждаю, что какую бы шкатулку мы не открыли, сумма во второй шкатулке будет, в среднем, составлять 1.25 от суммы в первой.

Но тогда получается, что мы можем выбрать первую коробку, затем, не открывая ее, изменить выбор на вторую, затем снова на первую и т. д., и при каждой смене выбора МО будет увеличиваться на 25. Предлагаю такое решение: в выбранной нами коробке с вероятностью 0.5 может находиться либо 50$, либо 100$. МО нашего выбора 50*0.5+ 100*0.5=75$. Если мы после открытия меняем выбор, то с вероятностью 0,5 теряем 50$, и с вероятностью 0,5 получаем 50$. МО от смены выбора не меняется.

Я счас начну головой о клавиатуру биться.
Сказав, что в одной шкатулке x, а во второй, в среднем, 1.25x, мы уже не можем возвращаться к первой и говорить, что там 1.25*1.25x, так как в первом предположении уже зафиксировали, что в первой шкатулке x. Это раз.
Два. Ну поймите же, что 1.25 от неизвестной нам суммы в шкатулке. Рискну сразить всех таким утверждением. В то время, как сумма во второй шкатулке будет, в среднем, относиться к первой как 1.25, сумма в первой будет относиться ко второй опять же как 1.25. В среднем. Надеюсь, этой мыслью я окончательно взрываю мозг оппонентов, и на них снисходит просветление.

Изображения

 

4. Проблема понимания задачи

Осталось понять чей пример соответствует условию нашей задачи.

Признаки логика в этом тексте есть, не спорю. Откроем 50 - во второй будет 2 первых суммы, откроем 100 - во второй будет 0.5 первой суммы, в среднем (2+0.5)/2=1.25 от первой суммы, вопрос: что такое в данном случае есть "первая сумма" и где Вас научили так считать?

Что Вы скажете на это:

1. Какую бы шкатулку мы не открыли первой, сумма в ней будет составлять в среднем (100+50)/2=75$
2. Какую бы шкатулку мы не открыли первой, сумма во второй шкатулке будет составлять в среднем (100+50)/2=75$

75$=75$ 1=1. Где Вы тут 1.25 видите?

Я вижу что в прошлый раз мало внимания уделил источнику проблемы:

Тут дело вот в чем. Понятие левой и правой шкатулки - условны. В этом определении они обезличены и любая из них может оказатся как левой так и правой, отсюда и получается 50%. Шкатулка в которой лежит 100$ у нас ОДНА и это уникальный физический объект со своими индивидуальными свойствами, которые мы узнаем, открыв ее. Другая шкатулка - также уникальный физический объект со своими индивидуальными свойствами. Сказать что там больше 100$ с вероятностью 50% это тоже самое что сказать что у меня в кошельке больше 100$ с вероятностью 50% - либо больше либо нет. Откуда Вы можете знать сколько может лежать у меня в кошельке? Сразу вспоминается анекдот про блондинку, не так ли?

А какая из задач наша?

Первая сумма - сумма, находящаяся в шкатулке, которую в данном испытании мы открыли первой.
Но, уже близится... И, заключительный аккорд:
3. Какую бы шкатулку мы не открыли первой, среднее отношение между суммой в ней и суммой во второй составит 1.25
4. Какую бы шкатулку мы не открыли первой, среднее отношение между суммой во второй и суммой в первой составит 1.25

А теперь внимание. Все 4 утверждения верны.
Среднее отношение сумм и отношение средних сумм. Есть разница?
Дабы не путаться, вопрос о равновероятности 50 и 200 пойдет другим ответом.

Мне кажется, что пример некорректный. Давайте так, мы с Вами гуляем по улице, тут является джин, кладет на асфальт два кошелька и говорит: "Вот два кошелька, берите каждый по кошельку, но знайте, в один я положил равномерно распределенную сумму от 0 до 1000, а в другой - ровно в два раза больше". Мы берем по кошельку. Я открываю свой, вижу там 100. Тогда, и я в этом уверен, в Вашем кошельке равновероятно 50 и 200. Где в этом рассуждении Вы видите ошибку?

4. Проблема понимания задачи.

1. Отношение средних сумм равно 1, значит между "всегда менять" и "никогда не менять" ращницы НЕТ.
2. Среднее отношение сумм равно 1.25, значит "всегда менять" выгодно.

С точки зрения элеметарной логики верным может быть только одно из этих заявлений (либо не верны оба). Неужели не видно что в данном случае справедливо первое утверждение, а второе - математическая казустика, призваная запудрить нам мозги. Понятие "среднее отношение" сумм в данном случае не является критерием сравнения, т.е. из факта "Среднее отношение сумм равно 1.25," не следует факт "выгодно менять", я выделил красным ошибку в этом утверждении. Замените "отношение" на "разницу", получим:

3. Средняя разница сумм равна (50-50)/2=0, значит между "всегда менять" и "никогда не менять" ращницы НЕТ.


В этих рассуждениях нет ошибки. Проблем в том, что это не наша задача. У нас нет никаких данных о характере распределения сумм, опять пытаетесь задачу подменить. Читаем внимательно наше условие: Предлагается такая вот игра. Есть 2 шкатулки. Известно, что в одной в 2 раза больше денег чем в другой. Мы можем допустить что игру нам предлагает джин, черт или серый волк. Но где здесь хоть слово про какое-либо распределение? Вот коректный пример в контексте нашей задачи:

В этой задаче, как и в исходной, у нас нет никакой информации о том, кто потерял эти кошельки и сколько денег в них может находится. Как только мы начинаем предполагать, откуда и сколько денег там может оказатся, придумывать джина, равномерно разложившего все свои деньги по 1000 пар кошельков, одну из которых он потерял, мы уходим от исходной задачи в область неконсруктивных домыслов.

Коровин, когда-нибудь, надеюсь, Вы осознаете, что привязываетесь к узкому месту в формулировке, вполне однозначной формулировке, только потому что не хотите разбираться с задачей и отказываться от своих измышлений.
Ну давайте добавим в условие задачи пункт о равномерности распределения На мой взляд это очевиднейшим образом вытекает из логики задачи, но раз Вы не согласны, то сформулируем этот пункт жестко. Итак, в одну шкатулку кладут равномерно распределенную от 0 до 1000 с шагом в 1 величину. Во вторую - ровно в два раза больше. Вы открываете одну из шкатулок, там 100. Все, все вероятности утверждены и прописаны. Менять или нет?

5. Задача с равномерным распределением.

Да не проблема, давайте рассмотрим задачу с равномерным распределением а потом подумаем, вытекает она из логики нашей задачи или нет. Только внесем 2 незначительные поправки: не от 0 а от единицы и не до 1000 а до Х, где Х - целое четное число и заменим суммы просто числами от 1 до Х. Обозначим число в первой шкатулке как S

Имеем: 1.5Х возможных вариантов чисел, из которых

а) 0.5Х нечетных числа меньше Х, вероятность увидеть любое из них 1/2Х
б) 0.5Х четных чисел больше Х, вероятность увидеть любое из них 1/2Х
в) 0.5Х четных чисел <=Х, , вероятность увидеть любое из них 1/Х

Имеем три варианта стратегии, которые зависят от того, какое число мы откроем первым:

а) всегда меняем свой выбор МО=2S
б) никогда не меняем свой выбор МО=S
в) всегда меняем свой выбор МО=1.25S

Зная о распределении возможных сумм еще до первого открытия мы можем легко посчитать МО нашей игры (считать лень). После открытия первой шкатулки мы можем лекго посчитать МО открытия второй шкатулки и принять решение, которое, как видно из набора стратегий, не является однозначным.

И это наша исходная задача? На мой взгляд это никаким боком не вытекает из логики нашей задачи. Откуда мы знаем что лицо, закладывающее деньги в шкатулки действовало именно таким образом? Почему мы рассматриваем только ситуацию когда границы распределения <50 и >200, почему не расматриваем варианты распеределения 1..75 или от 75..300 например?

А мне кажется, что именно это наша исходная задача и есть. Ну, по крайне мере, мы договорились, что если предположить равномерное распределение и величина в открытой шкатулке не позволяет нам привязаться к границам интервала, то нужно менять.
Усе, за сим закончим.

Вопрос на посошок:

Задача, похожая на нашу. В казино во время розыгрыша осталось 2 финалиста. Перед ними стоит 2 шкатулки. Ведущий объявляет что в одной из шкатулок вдвое больше денег чем в другой. Далее первый финалист может открыть любую шкатулку на выбор, а второй может забрать себе либо содержимое открытой шкатулки, либо содержимое закрытой шкатулки. Затем первый финналист заберт то, что останется после выбора второгго. Обозначим МО игры первого участника как МО1, второго как МО2. Как связаны между собой эти МО1 и МО2 (=,<,>,>=,<=) при различных вариантах стратегии второго финалиста:

1. Всегда выбираем открытую сумму
2. Всегда выбираем закрытую сумму
3. По четным дням выбираем открытую, по нечетным - закрытую
4. Забираем открытую сумму, если она >=К(*), иначе - закрытую

(*) К-произвольная фиксированая сумма, например 375$

Суть моего вопроса: второй финалист в лучшем положении чем первый (может ли он получить над ним преимущество) или БЕЗ РАЗНИЦЫ?

А вот ЭТО действительно "совсем не серьёзно". Ваша задача (отличная от изначальной) легко решается и, естественно, тут и речи не будет о том чтобы иметь заранее ответ о том стоит ли менять. и матожидание обмена вообще говоря не "125"